상대표준불확도는 u_r(x)=u(x)/|x|이며, 백분율은 여기에 100을 곱한다. 비상관 입력량이 곱셈·나눗셈으로 결합되고 1차 근사가 적절하면 상대값의 제곱합의 제곱근으로 합성한다. 거듭제곱은 지수를 반영하며, 확장불확도·덧셈 모델·영 부근·상관 입력량은 따로 구분한다.
목차
표준불확도를 그 값의 절댓값으로 나눈다
상대표준불확도의 기본식은 u_r(x)=u(x)/|x|이다. x는 입력량 또는 측정결과의 추정값이고, u(x)는 그 값에 대응하는 표준불확도다. 표준불확도는 표준편차로 표현한 측정불확도이며, 상대값의 분모에는 절댓값을 사용한다. VIM 2.30, VIM 2.32
나누기 전에 x와 u(x)의 단위를 맞춘다. 같은 단위끼리 나누므로 u_r(x)는 무차원이고, 백분율 표시는 100u(x)/|x|다. 계산서에는 상대값을 소수로 저장했는지 백분율의 수치로 저장했는지 표시한다. 스프레드시트에서 u(x)/ABS(x)를 계산한 셀에 백분율 서식을 적용했다면, 수식에 다시 100을 곱하지 않는다.
분모는 해당 불확도가 붙어 있는 값이다. 보정한 추정값을 사용하면서 불확도만 보정 전 값에서 가져오는 식으로 기준을 섞지 않는다. 또한 비율이 의미 있는 정량 측정에 적용한다. 측정값이 영이면 상대값을 정의할 수 없다. NIST 상대불확도 정의
인증서의 U를 나누면 상대확장불확도가 된다
확장불확도 U를 |x|로 나눈 U_r=U/|x|는 상대확장불확도다. 이를 상대표준불확도로 입력하면 확장된 값을 합성하게 된다. 인증서가 U=k·u 관계와 포함인자 k를 제시했다면 먼저 u=U/k로 환산하고, 이어 u_r=U/(k|x|)를 계산한다. NIST 외부 불확도의 표준화, 상대확장불확도
가상(교육용) 데이터로, CRM 인증서에 농도 100.0 mg/L, 확장불확도 U=1.0 mg/L, k=2가 기재돼 있다고 가정한다. 표준불확도는 0.50 mg/L이고 상대표준불확도는 0.005, 즉 0.50%다. 같은 인증서의 상대확장불확도는 0.010, 즉 1.0%다. 비교표는 figure_comparison에 제시한다. 특정 제품의 실제 인증값이 아니다.
인증서에 불확도의 종류나 k가 없으면 임의로 k=2를 넣지 않는다. 포함인자와 불확도 산출 설명을 확인해 환산 근거를 정한다. 또한 k=2만으로 포함확률을 정확히 95%라고 단정하지 않는다. 분포와 표준불확도 추정의 조건이 함께 필요하다. NIST 포함인자 설명
곱셈·나눗셈 합성에서는 지수까지 반영한다
입력량이 비상관이고 측정모델에 대한 1차 근사가 적절하면, y=A·∏x_i^a_i에 대해 u_c,r(y)=√Σ[a_i·u_r(x_i)]²를 사용한다. A는 불확도가 없는 상수로 가정한다. A에도 불확도가 있으면 입력량으로 포함한다. 입력값과 출력값은 영이 아니고, 모델이 해당 값 주변에서 정의되고 미분 가능해야 한다. NIST 곱과 거듭제곱의 합성식
따라서 y=x₁x₂/x₃에서는 각 지수의 절댓값이 같아 u_c,r(y)=√[u_r(x₁)²+u_r(x₂)²+u_r(x₃)²]가 된다. 나눗셈 항도 분산 합성에서는 제곱해 더한다. 반면 y=x²이면 같은 x를 반복해서 독립 입력량처럼 넣지 않고 u_r(y)≈2u_r(x)를 적용한다.
합성한 상대값을 출력 단위로 되돌릴 때는 u_c(y)=|y|·u_c,r(y)를 사용한다. 백분율 수치로 계산했다면 먼저 백분율을 소수 비율로 환산한다. 모든 성분을 같은 상대값 표현으로 맞추는 것이 핵심이다.
가상 희석 예제: 상대값 합성과 출력 단위 합성을 대조한다
다음은 가상(교육용) 데이터다. 측정모델을 c=c₀V_a/V_f로 정한다. 원액 농도 c₀=100.0 mg/L, 취한 부피 V_a=10.00 mL, 최종 부피 V_f=100.00 mL이고, 표준불확도는 각각 0.50 mg/L, 0.020 mL, 0.100 mL라고 가정한다. 입력량은 비상관이고, 이 예제에서는 해당 성분만 고려한다. 실제 희석·분석 절차에 필요한 성분 전체를 제시한 예산은 아니다.
결과는 c=10.00 mg/L다. 입력량의 상대표준불확도는 차례로 0.005, 0.002, 0.001이므로 u_c,r(c)=√(0.005²+0.002²+0.001²)=0.005477…이다. 따라서 상대합성표준불확도는 약 0.55%, 합성표준불확도는 약 0.055 mg/L다.
출력 단위로 확인해도 같다. 감도계수 ∂c/∂c₀=0.100, ∂c/∂V_a=1.000 (mg/L)/mL, ∂c/∂V_f=−0.100 (mg/L)/mL를 적용하면 c_i·u(x_i)는 각각 0.050, 0.020, −0.010 mg/L다. 서로 다른 단위의 표준불확도를 직접 더하지 않고, 이 출력 단위 성분들을 제곱해 합성하면 u_c(c)=√(0.050²+0.020²+0.010²)=0.054772… mg/L가 된다. 입력값과 계산 결과는 figure_budget에 연결했다. NIST 불확도 전파식
교육용으로 출력의 k도 2라고 가정하면 U≈0.11 mg/L, U_r≈1.1%다. 이는 원액 인증서의 k를 자동으로 승계한 것이 아니라 별도의 예제 조건이다. 이 예제에는 포함확률을 부여하지 않는다.
상대표준불확도와 분산 기여율도 구분한다. 비상관 거듭제곱 모델의 분산 기여율은 q_i=[a_i·u_r(x_i)]²/Σ[a_j·u_r(x_j)]²다. 이 예제에서 원액 농도의 상대표준불확도는 0.50%지만, 최종 합성분산에 대한 기여율은 약 83.3%다. 상대값은 해당 입력값 대비 불확도의 크기이고, 기여율은 최종 분산에서 차지하는 몫이다.
덧셈·영 부근·상관 입력량에서는 계산식을 바꾼다
덧셈·뺄셈 모델에는 입력량의 상대값 제곱합을 그대로 적용하지 않는다. 비상관 입력량의 y=x₁−x₂라면 같은 출력 단위로 맞춘 뒤 u_c(y)=√[u(x₁)²+u(x₂)²]를 구한다. 그다음 y가 영이 아니고 상대 표현이 의미 있을 때 u_c(y)/|y|를 계산한다. NIST 합과 차의 합성식
차이가 작거나 결과가 영 부근이면 상대값이 매우 커지거나 불안정해질 수 있다. 일률적인 상대불확도 허용치를 만들지 말고, 출력 단위의 불확도와 측정모델을 함께 확인한다. Eurachem/CITAC의 정량분석 불확도 지침도 영 부근의 불확도 표현과 몬테카를로 방법을 별도 주제로 다룬다. Eurachem 공식 지침 안내
입력량에 상관이 있으면 공분산을 포함한다. 일반식은 u_c²(y)=Σc_i²u²(x_i)+2Σ_{i<j}c_i c_j cov(x_i,x_j)이며 c_i=∂f/∂x_i다. 공분산항에서는 감도계수의 부호를 유지한다. 공통 표준액이나 같은 교정값을 사용했다면 비상관 가정부터 검토한다. 상관항이 있는 예산에 앞 절의 독립 성분 기여율을 그대로 적용하지 않는다. VIM 합성표준불확도 주, NIST 공분산을 포함한 전파식
상대값으로 환산했다고 비선형성이 해결되는 것은 아니다. 입력량의 가능한 범위에서 모델의 곡률이나 분모 변화가 커서 1차 근사가 충분하지 않다면 측정모델에 근거한 추가 평가를 한다. 분포 전파나 몬테카를로 방법의 적용도 검토할 수 있다.
계산서에는 환산 기준과 합성 조건을 남긴다
상대값 열을 검토할 때 다음 항목을 확인한다.
– [ ] 분모가 해당 표준불확도에 대응하는 추정값이며, 비율 표현이 의미 있는가.
– [ ] 값과 표준불확도의 단위가 일치하는가.
– [ ] u와 U를 구분하고, U를 환산했다면 k의 출처를 남겼는가.
– [ ] 상대값의 소수 표현과 백분율 표시가 구분돼 있는가.
– [ ] 측정모델의 지수와 입력량 간 상관을 반영했는가.
– [ ] 영 부근과 비선형성 때문에 단순 합성식이 부적절하지 않은가.
– [ ] 서로 다른 단위의 성분을 감도계수로 출력 단위에 변환했는가.
– [ ] 상대불확도와 최종 분산 기여율을 구분했는가.
실제 계산에서는 적용 시험법·교정방법의 불확도 평가 및 표시 지침과, 사용한 CRM 인증서의 인증값·불확도 종류·포함인자·적용 조건을 함께 기록한다. 반복성 성분에 s/√n을 적용하는 것은 해당 결과가 독립 반복측정의 평균일 때다. 이 글의 예제에는 반복측정값이 없으므로 이를 적용하지 않았다. NIST 평균의 표준불확도
ISO/IEC 17025:2017에 적용할 때도 계산 예제를 모든 시험의 평가·보고 규칙으로 일반화하지 않는다. A2LA의 공개 FAQ는 7.6.3 주 1에 해당하는 시험법과 적합성 진술의 상황을 별도로 설명한다. 해당 방법과 인정기관의 지침을 확인할 필요가 있다. A2LA 공개 FAQ
GUM은 측정불확도 평가와 표현의 일반적인 틀을 제공한다. 이 글의 계산식과 적용 조건은 본문에서 연결한 NIST·VIM의 공개 HTML 설명으로 대조할 수 있다. BIPM의 GUM 공식 서지·개요
이어서 볼 글: 측정 편향은 어떻게 계산하나
근거 자료
- JCGM Annotated VIM3 (JCGM 200:2012, 제3판 온라인 정의) — 2.30 standard measurement uncertainty
- JCGM Annotated VIM3 (JCGM 200:2012, 온라인 주석 2014-12-01) — 2.32 relative standard measurement uncertainty
- NIST — Evaluating uncertainty components: Type B (공개 HTML판, 개정일 미표기, 확인일 2026-10-27) — Uncertainty obtained from an outside source — Multiple of a standard deviation
- NIST — Expanded uncertainty and coverage factors (공개 HTML판, 개정일 미표기, 확인일 2026-10-27) — Expanded uncertainty; Coverage factor; Relative expanded uncertainty
- NIST — Combining uncertainty components (공개 HTML판, 개정일 미표기, 확인일 2026-10-27) — Calculation of combined standard uncertainty; Simplified forms — product of quantities raised to powers
- JCGM Annotated VIM3 (JCGM 200:2012, 온라인 주석 2014-12-01) — 2.31 combined standard measurement uncertainty — Note
- NIST Technical Note 1297, Appendix A (1994판, HTML 페이지 갱신 2025-09-11) — A.1–A.3, 식 (A-1)–(A-3)
- Eurachem/CITAC — Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement (제3판, 2012) — Contents — third edition additional material
- BIPM — JCGM 100:2008(E) (JCGM 100:2008, GUM 1995 with minor corrections) — Abstract
- A2LA — Frequently Asked Questions: ISO/IEC 17025:2017