입력량의 표준불확도를 바로 제곱해 더하면 단위와 측정모델을 놓치기 쉽다. 먼저 감도계수를 곱해 각 성분을 출력량 단위로 변환한다. 독립 성분은 제곱합의 제곱근으로 합성하고, 상관 성분은 감도계수의 부호를 유지한 공분산항을 추가한다. 계산을 마친 뒤에는 동일한 변동을 중복 반영했는지, 반복성 성분이 보고 결과의 형태에 맞는지 확인한다.
목차
합성하는 대상은 입력 불확도 자체가 아니라 출력에 대한 기여량이다
측정모델을 y=f(x₁,…,xₙ)으로 정하고, 각 입력 추정값에서 감도계수 cᵢ=∂f/∂xᵢ를 계산한다. 입력량의 표준불확도를 uᵢ라 하면 출력에 대한 부호 있는 기여량은 wᵢ=cᵢuᵢ다. 감도계수의 단위는 [출력량]/[입력량]이므로 모든 wᵢ의 단위가 출력량과 같아진다. 측정모델과 감도계수를 사용하는 전파식은 NIST TN 1297 부록 A에 제시되어 있다.
독립 성분의 합성표준불확도는 u_c(y)=√Σᵢ(cᵢuᵢ)²다. 예산표에는 입력값, uᵢ와 단위, cᵢ와 단위, wᵢ, wᵢ²를 나란히 배치한다. 입력 단위가 달라도 wᵢ의 단위가 일치하면 합성할 수 있다. NIST 불확도 예산 안내
상관이 있으면 분산을 u_c²(y)=Σᵢ(cᵢuᵢ)²+2Σᵢ₌₁ⁿ⁻¹Σⱼ₌ᵢ₊₁ⁿcᵢcⱼuᵢⱼ로 계산한 뒤 제곱근을 취한다. uᵢⱼ는 입력량 사이의 공분산이다. 각 쌍은 i<j에서 한 번만 세며, 감도계수의 음수 부호를 지우지 않는다. NIST 전파식 A-3
계산 전에 각 숫자가 무엇을 포함하는지 정한다
먼저 적용 시험법이나 교정방법의 결과 계산식을 가져오고, 보정값과 불확도 성분을 연결한다. CRM, 검량선, 칭량이라는 항목명만으로는 서로 독립인지 판단할 수 없다. 검량선에서 산출한 농도 불확도가 CRM 인증값과 시료 신호의 반복성까지 포함하는지 계산 문서에서 확인한다.
확장불확도 U와 포함인자 k가 제시되어 있으면 u=U/k로 환산한다. 한계 ±a만 주어졌고 그 구간의 직사각형 분포가 타당하다면 u=a/√3을 사용한다. 두 환산은 근거가 다르므로 인증서의 불확도와 기기 허용한계에 같은 나눗수를 일괄 적용하지 않는다. NIST Type B 평가 지침
같은 측정조건에서 얻은 n회 독립 관측의 평균에 대한 표준불확도는 s/√n이다. s는 분모 n−1로 계산한 표본표준편차다. NIST 평균의 표준불확도 설명
EURACHEM/CITAC 안내는 품질보증 조치에서 얻는 정보와 검증·관련 자료를 불확도 추정에 활용하는 접근을 설명한다. EURACHEM/CITAC 안내
계산 예제: CRM·검량선·부피·칭량·반복성을 mg/kg으로 합성한다
다음은 모두 가상(교육용) 데이터다. 실제 제조사 인증서나 특정 시험법의 검증 결과가 아니다. 모델은 y=qCV/m+δ_rep로 둔다. C는 검량선으로 구한 용액 농도, V는 최종 부피, m은 시료 질량이다. q는 CRM 인증값의 불확도를 별도로 전파하는 무차원 농도 척도계수이며, δ_rep는 출력량 단위의 반복성 변동이다.
교육용 CRM 입력정보는 인증농도 100 mg/L, 확장불확도 1.2 mg/L, 포함인자 2로 설정한다. 따라서 인증농도의 표준불확도는 0.6 mg/L이다. q를 실제 인증농도와 고정된 명목농도의 비로 정의하면 q=1, u(q)=0.6/100=0.006이다. 이 예제는 농도 척도가 CRM 인증농도에 비례하는 경우다. 실제 회귀모델에서 CRM 불확도를 이미 전파했다면 q를 다시 추가하지 않는다.
입력값 C=10 mg/L, V=0.100 L, m=0.0100 kg, δ_rep=0 mg/kg을 대입하면 y=100 mg/kg이다. 각 입력의 표준불확도와 감도계수는 figures의 예산표에 제시한다. 예를 들어 c_C=qV/m=10 L/kg이므로 u(C)=0.08 mg/L의 출력 기여량은 0.8 mg/kg이다. 질량의 감도계수는 c_m=−qCV/m²=−10000 mg/kg²이고, u(m)=0.000020 kg의 기여량은 −0.2 mg/kg이다.
반복성 평가용 가상 자료는 99.5, 100.0, 100.5 mg/kg이다. n=3, 평균=100.0 mg/kg, 표본표준편차 s=0.50 mg/kg, RSD=0.50%다. 이 자료는 향후 단일 결과의 반복성을 평가하는 용도로 설정했으므로 u(δ_rep)=0.50 mg/kg이며 s/√n을 적용하지 않는다. 자료 수는 계산을 보여주기 위한 설정이며 권장 반복 횟수가 아니다.
예제에서는 C의 불확도를 검량선 계수 추정 성분으로 한정하고 CRM 성분과 향후 시료의 반복성을 제외한다. V와 m에는 교정 성분만 배치하며, 작업 중 무작위 변동은 반복성 성분에 포함했다고 가정한다. 성분 사이의 공분산은 모두 없는 것으로 설정한다.
출력 기여량을 합성하면 u_c²(y)=0.6²+0.8²+0.1²+(−0.2)²+0.5²=1.30 (mg/kg)²다. 따라서 u_c(y)=√1.30=1.140175… mg/kg이며, 교육용 표시값은 1.14 mg/kg이다. 계산 중에는 자릿수를 유지하고 마지막 표시에서 반올림했다. 이 값은 합성표준불확도이며 확장불확도 계산은 여기서 수행하지 않는다.
상관항은 불확도를 늘릴 수도, 줄일 수도 있다
공분산은 상관계수 rᵢⱼ를 사용해 uᵢⱼ=rᵢⱼuᵢuⱼ로 쓸 수 있다. NIST 공분산·상관계수 정의
figures의 비교표 역시 가상(교육용) 데이터다. x₁=10 mg/L, x₂=2 mg/L이고 u₁=0.4 mg/L, u₂=0.3 mg/L로 둔다. 독립이면 합과 차 모두 합성표준불확도가 0.500 mg/L다. 양의 상관 r=0.5를 설정하면 합에서는 공분산항이 +0.12 (mg/L)²여서 0.608 mg/L가 되고, 차에서는 −0.12 (mg/L)²여서 0.361 mg/L가 된다. 상관계수는 설명을 위해 지정한 값이며 실제 자료에서 추정한 값이 아니다.
실무에서는 같은 회귀분석에서 나온 기울기와 절편, 같은 표준액에서 유래한 농도값, 공통 교정값을 사용하는 입력량을 먼저 확인한다. 특히 검량선 계수의 표준오차만 가져오고 공분산을 버리면 결과가 달라질 수 있다. NIST의 검량선 사례에서도 공분산을 포함했을 때 불확도가 감소하는 경우를 보여준다. NIST 검량선 공분산 사례
상관을 모른다는 사실을 독립의 근거로 삼지는 않는다. 회귀 공분산 행렬, 함께 측정한 자료, 공통 입력의 구조를 확인한다. 근거가 부족하면 상관을 바꿨을 때 계산값이 얼마나 달라지는지 검토하고, 필요한 자료를 확보한다. A형·B형이라는 평가 방식의 구분만으로 독립성을 결정할 수는 없다.
예산표를 확정하기 전에 확인할 항목
다음은 이 글의 계산 검토용 체크리스트다.
– 측정모델이 보고 대상과 일치하는가. 단일 결과, 평균 결과, 보정 후 결과를 구분했는가.
– 모든 입력 불확도를 표준불확도로 환산했는가. CRM의 U와 k, 한계값의 분포 가정을 구별했는가.
– 각 cᵢuᵢ의 단위가 출력량과 같은가. 단위가 다른 원래의 uᵢ를 직접 제곱해 더하지 않았는가.
– 감도계수의 부호를 보존했는가. 상관항에서 절댓값을 사용하지 않았는가.
– 검량선 불확도에 CRM이나 시료 반복성이 이미 포함되어 있는가. 반복 정밀도에 포함된 작업 변동을 다시 더하지 않았는가.
– 공통 표준과 공통 보정값을 사용하는 입력량의 공분산을 검토했는가.
– 반복성 성분의 s/√n 적용이 보고 결과의 평균 여부와 일치하는가.
– 성분의 산정 방법, 분포, 자유도와 그 근거를 기록했는가. 근거 없는 자유도를 임의로 채우지 않았는가.
– 적용 시험법·SOP의 판본, 원자료 위치, 회귀 출력, CRM 로트와 인증서, 계산식과 변경 이력을 연결했는가.
예산표의 수치만 남기면 같은 계산을 재현하기 어렵다. NIST 보고 지침은 측정결과와 불확도를 보고할 때 각 표준불확도 성분의 평가 방법을 상세히 설명하도록 한다. NIST 불확도 보고 지침
ISO/IEC 17025:2017의 시험 불확도 평가와 관련해 EA의 공개 해설은 7.6.3의 시험기관 평가 요구를 인용하고, 인정된 시험법을 따르는 경우에도 7.6.1에 따른 기관 고유의 기여량 식별이 남는다고 설명한다. 따라서 이 예산표를 적용 시험법의 검토 없이 그대로 복사해서는 안 된다. EA 공개 해설
선형 전파식으로 충분한지 확인한다
여기서 사용한 식은 측정모델의 일차 근사에 기반한다.
JCGM 101:2008은 임의 개수의 입력량과 단일 출력량을 갖는 측정모델에서 확률분포를 전파하고 이를 몬테카를로 방법으로 구현하는 내용을 다룬다. JCGM 101:2008 안내
이 글은 합성표준불확도 계산에 범위를 한정한다. 포함인자 선정, 확장불확도, 적합성 판정과 정도관리 차트의 관리한계는 각각의 목적과 방법에 따라 별도로 평가한다.
이어서 볼 글: 측정불확도 산정 실무 — 표준불확도와 합성불확도 계산법
근거 자료
- NIST TN 1297, Appendix A (1994 edition) — A.1–A.3, 식 A-1–A-3
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (공개 HTML, 판본일 미표기, 2026-10-18 확인) — 2.5.6, Sensitivity coefficients show how components are related to result
- NIST TN 1297, Type B Evaluation of Standard Uncertainty (1994 edition) — 4.2 및 4.6
- NIST NeXLUncertainties documentation (공개 HTML, 판본일 미표기, 2026-10-18 확인) — NeXLUncertainties.divide 및 covariance 설명
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (공개 HTML, 판본일 미표기, 2026-10-18 확인) — 2.3.6.7.1, Recomputation of the standard deviation of X′
- European co-operation for Accreditation, FAQ 43.1 (ISO/IEC 17025:2017 관련 공개 해설; 게시일 미표기; 2026-10-18 확인) — 답변의 7.6.3 인용 및 Even where conditions of Note 1 occur 항목
- BIPM, JCGM 101:2008 (2008) — Abstract
- BIPM — JCGM 100:2008 공식 서지·개요
- EURACHEM/CITAC — Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement, Third Edition
- NIST/SEMATECH e-Handbook — Propagation of error considerations
- NIST TN 1297 — Reporting Uncertainty